Формули НМТ з математики 2026: вичерпний практичний довідник

Національний мультипредметний тест з математики 2026 року знову дає учасникам доступ до офіційних довідкових матеріалів Українського центру оцінювання якості освіти. Вони містять таблицю квадратів від 10 до 49, формули скороченого множення, квадратного рівняння з дискримінантом, властивості степенів і логарифмів, арифметичної та геометричної прогресій, комбінаторики, основні правила диференціювання та інтегрування, тригонометричні тотожності разом із таблицею значень функцій для стандартних кутів, а також формули площ і об’ємів основних планіметричних фігур і стереометричних тіл, теорему Піфагора та закони синусів і косинусів для довільного трикутника. Цей набір суттєво полегшує роботу, але не замінює розуміння логіки кожної формули та вміння швидко обирати потрібну в контексті конкретного завдання.

Для новачків найважливішим стає не механічне запам’ятовування, а поступове проникнення в зміст: чому саме так виглядає формула площі трикутника через синус кута, як дискримінант визначає кількість і характер коренів, чому геометрична прогресія «вибухає» при |q| > 1. Просунуті абітурієнти виграють від бачення міжтематичних зв’язків — наприклад, застосування похідної для оптимізації площі або об’єму в комбінованих задачах, або використання властивостей прогресій у комбінаторних підрахунках. У обох випадках формули перестають бути сухими рядками й перетворюються на гнучкі інструменти, що економлять час і зменшують кількість помилок під тиском таймера.

Квадратне рівняння, прогресії чи об’єм конуса — кожна формула має свою «історію» та межі застосування. Той, хто розуміє ці межі, рідко потрапляє в пастки, коли, наприклад, забуває перевірити умову q ≠ 1 у сумі геометричної прогресії або плутає орієнтацію висоти в трикутнику. Далі розглянемо весь спектр формул, які реально використовуються на НМТ, з поясненнями, прикладами типових завдань та нюансами, що відрізняють поверхневе знання від впевненого володіння.

Офіційні довідкові матеріали: що саме лежить перед очима під час тесту

Український центр оцінювання якості освіти традиційно публікує довідкові матеріали у вигляді окремої вкладки в тестовій системі. Окрім уже згаданої таблиці квадратів, там чітко прописані формули скороченого множення: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$(a+b)2=a2+2ab+b2, $(a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2$(a−b)2=a2−2ab+b2, $a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)$a2−b2=(a−b)(a+b). Ці три вирази економлять десятки секунд при розкладанні або спрощенні виразів у завданнях на перетворення алгебраїчних виразів.

Далі йде модуль числа з графічним визначенням, правила дій зі степенями (включно з від’ємними та нульовим показником), основні властивості логарифмів: $log_b (cd) = log_b c + log_b d$logb​(cd)=logb​c+logb​d, $log_b (c/d) = log_b c – log_b d$logb​(c/d)=logb​c−logb​d, $log_b (c^k) = k log_b c$logb​(ck)=klogb​c. Арифметична прогресія представлена формулами загального члена $a_n = a_1 + (n-1)d$an​=a1​+(n−1)d та суми $S_n = frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d]$Sn​=2n​[2a1​+(n−1)d]. Геометрична — $a_n = a_1 q^{n-1}$an​=a1​qn−1 та сумою $S_n = a_1 frac{1 – q^n}{1 – q}$Sn​=a1​1−q1−qn​ (за умови q ≠ 1).

Квадратне рівняння $ax^2 + bx + c = 0$ax2+bx+c=0 супроводжується дискримінантом $D = b^2 – 4ac$D=b2−4ac та формулою коренів. Комбінаторика обмежена класичною $C_n^k = frac{n!}{k!(n-k)!}$Cnk​=k!(n−k)!n!​. Похідна функції містить правила для константи, степеневої функції, добутку, частки, складеної функції та основних елементарних функцій (експоненти, логарифма, синуса, косинуса). Первісна та визначений інтеграл представлені формулою Ньютона-Лейбніца та таблицею найпростіших інтегралів.

Геометричний блок охоплює площі трикутника (через висоту та через дві сторони й синус кута), паралелограма, трапеції, ромба, квадрата, прямокутника; довжину кола та площу круга; об’єми призми, циліндра, піраміди, конуса, кулі; поверхню кулі. Є також теорема Піфагора, закони синусів і косинусів для довільного трикутника та базові відомості про координати й вектори. Тригонометрія доповнена таблицею значень sin, cos, tg для кутів 0°, 30°, 45°, 60°, 90° та основними тотожностями.

Квадратні рівняння та формули скороченого множення: фундамент алгебри на НМТ

Квадратне рівняння з’являється майже в кожному варіанті — чи то при розв’язуванні нерівностей, чи при знаходженні точок перетину графіків, чи в задачах на оптимізацію. Формула коренів $x_{1,2} = frac{-b pm sqrt{D}}{2a}$x1,2​=2a−b±D​​ виглядає громіздко, але на практиці все зводиться до трьох кроків: визначити a, b, c; порахувати D; підставити. Коли D > 0 — два різних дійсних корені; D = 0 — один (кратний); D < 0 — коренів немає в дійсних числах.

Багато хто забуває, що при a < 0 парабола спрямована вниз, і це впливає на вибір кореня в контексті задачі. Просунуті учасники часто використовують теорему Вієта $x_1 + x_2 = -b/a$x1​+x2​=−b/a, $x_1 x_2 = c/a$x1​x2​=c/a для перевірки або швидкого знаходження суми/добутку без обчислення самих коренів. Це особливо зручно в завданнях на встановлення відповідності або з короткою відповіддю.

Формули скороченого множення працюють як прискорювач. Замість того щоб розкривати дужки вручну, одразу бачиш $a^2 + 2ab + b^2$a2+2ab+b2 як $(a + b)^2$(a+b)2. На тесті це рятує час у завданнях типу «спростіть вираз» або «знайдіть значення при конкретних a і b». Важливий нюанс: формула різниці квадратів $a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)$a2−b2=(a−b)(a+b) часто маскується в завданнях з модулями або параметрами.

Степені, логарифми та їх «невидимі» властивості

Правила дій зі степенями здаються простими, але саме на них найчастіше «злітають» бали через неуважність до основи та показника. $a^m cdot a^n = a^{m+n}$am⋅an=am+n, $(a^m)^n = a^{mn}$(am)n=amn, $a^{-n} = 1/a^n$a−n=1/an — ці три співвідношення дозволяють швидко приводити вирази до спільної основи. Коли в завданні з’являється $2^{x} cdot 4^{x+1}$2x⋅4x+1, досвідчений учасник одразу переписує 4 як $2^2$22 і отримує $2^{3x+2}$23x+2.

Логарифми в довіднику представлені основними властивостями. Найкорисніша на практиці — перехід до іншої основи та винесення степеня з-під логарифма. У задачах НМТ логарифми часто ховаються в показникових рівняннях або в обчисленні складних виразів. Початківцям варто запам’ятати: логарифм визначений лише для додатних аргументів і основи, не рівної 1. Це просте правило рятує від «фантомних» коренів.

Прогресії: арифметична та геометрична — два різних світи

Арифметична прогресія — це рівномірний рух з постійною різницею. Формула загального члена та суми перших n членів дозволяє за дві-три операції знайти будь-який член або суму без перелічування всіх елементів. На тесті часто просять знайти n-й член або суму, коли відомі перший, різниця та номер.

Геометрична прогресія — це вже експоненційне зростання або спадання. Формула суми $S_n = a_1 frac{1 – q^n}{1 – q}$Sn​=a1​1−q1−qn​ працює лише при q ≠ 1. Коли |q| > 1, члени швидко стають величезними, і сума теж «летить» у нескінченність, якщо n → ∞. У шкільних задачах НМТ іноді просять знайти суму нескінченної геометричної прогресії за умови |q| < 1 — формула спрощується до $S = frac{a_1}{1 – q}$S=1−qa1​​. Багато хто забуває про цю умову і втрачає бали.

Геометрія: площі, об’єми та теореми, які реально потрібні

У довідкових матеріалах геометрія представлена досить повно. Площа трикутника через висоту $S = frac{1}{2} a h_a$S=21​aha​ — базова. Але часто зручніше використовувати формулу з двома сторонами та синусом кута між ними $S = frac{1}{2} ab sin C$S=21​absinC. Вона особливо корисна, коли висоту важко провести або виміряти.

Для чотирикутників важливо розрізняти: площа паралелограма $S = a h_a$S=aha​ або $S = ab sin alpha$S=absinα; площа трапеції $S = frac{a + b}{2} cdot h$S=2a+b​⋅h; площа ромба — половина добутку діагоналей. Коло та круг: довжина кола $2pi r$2πr, площа $pi r^2$πr2.

У стереометрії об’єм прямої призми — площа основи помножена на висоту; циліндра — $pi r^2 h$πr2h; піраміди та конуса — третина від того ж добутку; кулі — $frac{4}{3} pi r^3$34​πr3. Поверхня кулі — $4pi r^2$4πr2. Теорема Піфагора $a^2 + b^2 = c^2$a2+b2=c2 для прямокутного трикутника та її узагальнення через косинус для довільного трикутника (закон косинусів) дозволяють знаходити невідомі сторони та кути без побудови висот.

Тригонометрія та таблиця значень: швидкий доступ до точних чисел

Таблиця sin, cos, tg для стандартних кутів у довіднику — це не просто шпаргалка, а інструмент для перевірки. Коли задача дає кут 30° або 45°, можна одразу підставити точне значення $frac{1}{2}$21​, $frac{sqrt{2}}{2}$22​​, $frac{sqrt{3}}{2}$23​​, замість того щоб викликати калькулятор або рахувати вручну. Основні тотожності — $sin^2 x + cos^2 x = 1$sin2x+cos2x=1, формули подвійного кута, співвідношення для суміжних і вертикальних кутів — дозволяють спрощувати вирази та розв’язувати тригонометричні рівняння.

На НМТ тригонометрія рідко виступає окремо, частіше «вплетена» в геометрію або алгебру. Той, хто вільно оперує цими значеннями та тотожностями, швидко переводить задачу з геометричної мови в числову.

Похідні, первісні та початки аналізу: що реально використовують на тесті

Похідна в довідкових матеріалах представлена досить широко: правила для суми, добутку, частки, ланцюгове правило для степеневої функції, похідні основних функцій. На практиці на НМТ найчастіше просять знайти похідну конкретної функції або використати її для визначення проміжків зростання/спадання чи точок екстремуму.

Формула Ньютона-Лейбніца для визначеного інтеграла з’являється рідше, але коли з’являється — завдання зазвичай зводиться до обчислення первісної в межах та віднімання. Просунуті учасники помічають, що похідна та інтеграл — «зворотні» операції, і це допомагає перевіряти себе.

Комбінаторика та ймовірність: формули, які економлять час

Класична формула кількості комбінацій $C_n^k = frac{n!}{k!(n-k)!}$Cnk​=k!(n−k)!n!​ — єдина комбінаторна формула в довіднику. Все інше (перестановки, розміщення) доводиться виводити з неї або пам’ятати самостійно. Ймовірність класичної події — відношення кількості сприятливих результатів до загальної кількості. У задачах НМТ часто комбінують комбінаторику з геометрією або прогресіями.

Як оперувати формулами швидко та без помилок: стратегії для новачків і просунутих

Початківцям варто завести «особисту шпаргалку» — не копію довідника, а саме ті формули, які найчастіше забуваються, з короткими прикладами застосування. Під час тесту перше, що варто зробити після прочитання умови, — визначити, до якої теми вона належить, і одразу «відкрити» відповідний розділ у довідкових матеріалах подумки.

Просунуті учасники використовують «ланцюжки»: побачивши квадратне рівняння, одразу перевіряють дискримінант і розглядають варіанти за теоремою Вієта; побачивши геометричну фігуру — прикидають, чи зручніше рахувати через висоту, синус чи діагоналі. Важливо не просто підставляти числа, а розуміти розмірність: площа — в квадратних одиницях, об’єм — в кубічних, ймовірність — безрозмірна величина від 0 до 1.

Найпоширеніша пастка — механічне застосування формули без перевірки умов (q = 1, a = 0, від’ємний аргумент логарифма, кут поза допустимим діапазоном). Друга — арифметичні помилки при обчисленні дискримінанта або коренів. Третя — ігнорування геометричного змісту: наприклад, вибір «зайвого» кореня квадратного рівняння, який не відповідає фізичному чи геометричному сенсу задачі.

Той, хто регулярно розв’язує повноцінні варіанти НМТ, поступово виробляє «математичну інтуїцію»: бачить, яка формула «проситься» в задачу ще до того, як повністю прочитає умову. Саме ця інтуїція, підкріплена твердим знанням формул і розумінням їхніх меж, перетворює 22 завдання математики з випробування на впевнену роботу з інструментами, які вже лежать у довідкових матеріалах і в голові.