Формулы НМТ по математике 2026: исчерпывающий практический справочник

Национальный мультипредметный тест по математике 2026 года снова дает участникам доступ к официальным справочным материалам Украинского центра оценивания качества образования. Они содержат таблицу квадратов от 10 до 49, формулы сокращенного умножения, квадратного уравнения с дискриминантом, свойства степеней и логарифмов, арифметической и геометрической прогрессий, комбинаторики, основные правила дифференцирования и интегрирования, тригонометрические тождества вместе с таблицей значений функций для стандартных углов, а также формулы площадей и объемов основных планиметрических фигур и стереометрических тел, теорему Пифагора и законы синусов и косинусов для произвольного треугольника. Этот набор существенно облегчает работу, но не заменяет понимания логики каждой формулы и умения быстро выбирать нужную в контексте конкретного задания.

Для новичков самым важным становится не механическое запоминание, а постепенное проникновение в суть: почему именно так выглядит формула площади треугольника через синус угла, как дискриминант определяет количество и характер корней, почему геометрическая прогрессия «взрывается» при |q| > 1. Продвинутые участники выигрывают от видения межпредметных связей — например, применения производной для оптимизации площади или объема в комбинированных задачах, или использования свойств прогрессий в комбинаторных подсчетах. В обоих случаях формулы перестают быть сухими строчками и превращаются в гибкие инструменты, которые экономят время и уменьшают количество ошибок под давлением таймера.

Квадратное уравнение, прогрессии или объем конуса — каждая формула имеет свою «историю» и границы применения. Тот, кто понимает эти границы, редко попадает в ловушки, когда, например, забывает проверить условие q ≠ 1 в сумме геометрической прогрессии или путает ориентацию высоты в треугольнике. Далее рассмотрим весь спектр формул, которые реально используются на НМТ, с пояснениями, примерами типовых заданий и нюансами, которые отличают поверхностное знание от уверенного владения.

Официальные справочные материалы: что именно лежит перед глазами во время теста

Украинский центр оценивания качества образования традиционно публикует справочные материалы в виде отдельной вкладки в тестовой системе. Кроме уже упомянутой таблицы квадратов, там четко прописаны формулы сокращенного умножения: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$(a+b)²=a²+2ab+b², $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$(a−b)²=a²−2ab+b², $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$a²−b²=(a−b)(a+b). Эти три выражения экономят десятки секунд при разложении или упрощении выражений в заданиях на преобразование алгебраических выражений.

Далее идет модуль числа с графическим определением, правила действий со степенями (включая отрицательные и нулевой показатель), основные свойства логарифмов: $log_b (cd) = log_b c + log_b d$log_b(cd)=log_b c+log_b d, $log_b (c/d) = log_b c - log_b d$log_b(c/d)=log_b c−log_b d, $log_b (c^k) = k log_b c$log_b(c^k)=k log_b c. Арифметическая прогрессия представлена формулами общего члена $a_n = a_1 + (n-1)d$a_n=a_1+(n−1)d и суммы $S_n = frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d]$S_n=n/2 [2a_1+(n−1)d]. Геометрическая — $a_n = a_1 q^{n-1}$a_n=a_1 q^{n-1} и суммой $S_n = a_1 frac{1 - q^n}{1 - q}$S_n=a_1 (1−q^n)/(1−q) (при условии q ≠ 1).

Квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ax²+bx+c=0 сопровождается дискриминантом $D = b^2 - 4ac$D=b²−4ac и формулой корней. Комбинаторика ограничена классической $C_n^k = frac{n!}{k!(n-k)!}$C_n^k = n! / (k!(n−k)!). Производная функции содержит правила для константы, степенной функции, произведения, частного, сложной функции и основных элементарных функций (экспоненты, логарифма, синуса, косинуса). Первообразная и определенный интеграл представлены формулой Ньютона-Лейбница и таблицей простейших интегралов.

Геометрический блок охватывает площади треугольника (через высоту и через две стороны и синус угла), параллелограмма, трапеции, ромба, квадрата, прямоугольника; длину окружности и площадь круга; объемы призмы, цилиндра, пирамиды, конуса, шара; поверхность шара. Есть также теорема Пифагора, законы синусов и косинусов для произвольного треугольника и базовые сведения о координатах и векторах. Тригонометрия дополнена таблицей значений sin, cos, tg для углов 0°, 30°, 45°, 60°, 90° и основными тождествами.

Квадратные уравнения и формулы сокращенного умножения: фундамент алгебры на НМТ

Квадратное уравнение появляется почти в каждом варианте — будь то при решении неравенств, при нахождении точек пересечения графиков или в задачах на оптимизацию. Формула корней $x_{1,2} = frac{-b pm sqrt{D}}{2a}$x_{1,2}=(-b±√D)/(2a) выглядит громоздко, но на практике все сводится к трем шагам: определить a, b, c; посчитать D; подставить. Когда D > 0 — два разных действительных корня; D = 0 — один (кратный); D < 0 — корней нет в действительных числах.

Многие забывают, что при a < 0 парабола направлена вниз, и это влияет на выбор корня в контексте задачи. Продвинутые участники часто используют теорему Виета $x_1 + x_2 = -b/a$x_1+x_2=−b/a, $x_1 x_2 = c/a$x_1 x_2=c/a для проверки или быстрого нахождения суммы/произведения без вычисления самих корней. Это особенно удобно в заданиях на установление соответствия или с кратким ответом.

Формулы сокращенного умножения работают как ускоритель. Вместо того чтобы раскрывать скобки вручную, сразу видишь $a^2 + 2ab + b^2$a²+2ab+b² как $(a + b)^2$(a+b)². На тесте это спасает время в заданиях типа «упростите выражение» или «найдите значение при конкретных a и b». Важный нюанс: формула разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$a²−b²=(a−b)(a+b) часто маскируется в заданиях с модулями или параметрами.

Степени, логарифмы и их «невидимые» свойства

Правила действий со степенями кажутся простыми, но именно на них чаще всего «слетают» баллы из-за невнимательности к основанию и показателю. $a^m cdot a^n = a^{m+n}$a^m ⋅ a^n = a^{m+n}, $(a^m)^n = a^{mn}$(a^m)^n = a^{mn}, $a^{-n} = 1/a^n$a^{-n}=1/a^n — эти три соотношения позволяют быстро приводить выражения к общему основанию. Когда в задании появляется $2^{x} cdot 4^{x+1}$2^x ⋅ 4^{x+1}, опытный участник сразу переписывает 4 как $2^2$2² и получает $2^{3x+2}$2^{3x+2}.

Логарифмы в справочнике представлены основными свойствами. Самое полезное на практике — переход к другому основанию и вынесение степени из-под логарифма. В задачах НМТ логарифмы часто скрываются в показательных уравнениях или в вычислении сложных выражений. Новичкам стоит запомнить: логарифм определен только для положительных аргументов и основания, не равного 1. Это простое правило спасает от «фантомных» корней.

Прогрессии: арифметическая и геометрическая — два разных мира

Арифметическая прогрессия — это равномерное движение с постоянной разностью. Формула общего члена и суммы первых n членов позволяет за две-три операции найти любой член или сумму без перечисления всех элементов. На тесте часто просят найти n-й член или сумму, когда известны первый, разность и номер.

Геометрическая прогрессия — это уже экспоненциальный рост или убывание. Формула суммы $S_n = a_1 frac{1 - q^n}{1 - q}$S_n=a_1 (1−q^n)/(1−q) работает только при q ≠ 1. Когда |q| > 1, члены быстро становятся огромными, и сумма тоже «летит» в бесконечность, если n → ∞. В школьных задачах НМТ иногда просят найти сумму бесконечной геометрической прогрессии при условии |q| < 1 — формула упрощается до $S = frac{a_1}{1 - q}$S=a_1/(1−q). Многие забывают об этом условии и теряют баллы.

Геометрия: площади, объемы и теоремы, которые реально нужны

В справочных материалах геометрия представлена довольно полно. Площадь треугольника через высоту $S = frac{1}{2} a h_a$S=½ a h_a — базовая. Но часто удобнее использовать формулу с двумя сторонами и синусом угла между ними $S = frac{1}{2} ab sin C$S=½ ab sin C. Она особенно полезна, когда высоту сложно провести или измерить.

Для четырехугольников важно различать: площадь параллелограмма $S = a h_a$S=a h_a или $S = ab sin alpha$S=ab sin α; площадь трапеции $S = frac{a + b}{2} cdot h$S=(a+b)/2 ⋅ h; площадь ромба — половина произведения диагоналей. Окружность и круг: длина окружности $2pi r$2πr, площадь $pi r^2$πr².

В стереометрии объем прямой призмы — площадь основания, умноженная на высоту; цилиндра — $pi r^2 h$πr²h; пирамиды и конуса — треть от того же произведения; шара — $frac{4}{3} pi r^3$(4/3)πr³. Поверхность шара — $4pi r^2$4πr². Теорема Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$a²+b²=c² для прямоугольного треугольника и ее обобщение через косинус для произвольного треугольника (закон косинусов) позволяют находить неизвестные стороны и углы без построения высот.

Тригонометрия и таблица значений: быстрый доступ к точным числам

Таблица sin, cos, tg для стандартных углов в справочнике — это не просто шпаргалка, а инструмент для проверки. Когда задача дает угол 30° или 45°, можно сразу подставить точное значение $frac{1}{2}$½, $frac{sqrt{2}}{2}$√2/2, $frac{sqrt{3}}{2}$√3/2, вместо того чтобы вызывать калькулятор или считать вручную. Основные тождества — $sin^2 x + cos^2 x = 1$sin²x+cos²x=1, формулы двойного угла, соотношения для смежных и вертикальных углов — позволяют упрощать выражения и решать тригонометрические уравнения.

На НМТ тригонометрия редко выступает отдельно, чаще «вплетена» в геометрию или алгебру. Тот, кто свободно оперирует этими значениями и тождествами, быстро переводит задачу с геометрического языка на числовой.

Производные, первообразные и начала анализа: что реально используют на тесте

Производная в справочных материалах представлена довольно широко: правила для суммы, произведения, частного, цепное правило для степенной функции, производные основных функций. На практике на НМТ чаще всего просят найти производную конкретной функции или использовать ее для определения промежутков возрастания/убывания или точек экстремума.

Формула Ньютона-Лейбница для определенного интеграла появляется реже, но когда появляется — задание обычно сводится к вычислению первообразной в пределах и вычитанию. Продвинутые участники замечают, что производная и интеграл — «обратные» операции, и это помогает проверять себя.

Комбинаторика и вероятность: формулы, которые экономят время

Классическая формула количества сочетаний $C_n^k = frac{n!}{k!(n-k)!}$C_n^k = n! / (k!(n−k)!) — единственная комбинаторная формула в справочнике. Все остальное (перестановки, размещения) приходится выводить из нее или запоминать самостоятельно. Вероятность классического события — отношение количества благоприятных исходов к общему количеству. В задачах НМТ часто комбинируют комбинаторику с геометрией или прогрессиями.

Как оперировать формулами быстро и без ошибок: стратегии для новичков и продвинутых

Новичкам стоит завести «личную шпаргалку» — не копию справочника, а именно те формулы, которые чаще всего забываются, с краткими примерами применения. Во время теста первое, что стоит сделать после прочтения условия, — определить, к какой теме оно относится, и сразу «открыть» соответствующий раздел в справочных материалах мысленно.

Продвинутые участники используют «цепочки»: увидев квадратное уравнение, сразу проверяют дискриминант и рассматривают варианты по теореме Виета; увидев геометрическую фигуру — прикидывают, удобнее ли считать через высоту, синус или диагонали. Важно не просто подставлять числа, а понимать размерность: площадь — в квадратных единицах, объем — в кубических, вероятность — безразмерная величина от 0 до 1.

Самая распространенная ловушка — механическое применение формулы без проверки условий (q = 1, a = 0, отрицательный аргумент логарифма, угол вне допустимого диапазона). Вторая — арифметические ошибки при вычислении дискриминанта или корней. Третья — игнорирование геометрического смысла: например, выбор «лишнего» корня квадратного уравнения, который не соответствует физическому или геометрическому смыслу задачи.

Тот, кто регулярно решает полноценные варианты НМТ, постепенно вырабатывает «математическую интуицию»: видит, какая формула «просится» в задачу еще до того, как полностью прочитает условие. Именно эта интуиция, подкрепленная твердым знанием формул и пониманием их границ, превращает 22 задания математики из испытания в уверенную работу с инструментами, которые уже лежат в справочных материалах и в голове.